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風見鶏の寝言062

モデル前編」





大きな問題を分析する際、いきなりそれを全体として分析することは極めて難しい

そこで、しばしば、一度ごく小さな規模、あるいは単純なものを想定することで、分析をしやすくすることがある。

大雑把に言えば、この小さな規模・単純化したものを「モデル」と呼ぶ

逆に言えば、この「モデル」を延長・拡張・複雑化したものを用いると、巨大な問題を分析することが可能になる。

こう説明する以上、もし、モデルの想定をすっ飛ばして、直接本題である巨大な問題に取り組んで分析をこなすことができる者がいるならば、その者はモデルを使う必要はない

ただ、私も含めて通常人はモデルを使った方が間違いがないから使う、ということである。




例えば、高校の数学の授業で、以下のような数列の問題があったとしよう

数列:1, 3, 5, 7, 2, 4, 6, 8, 3, 5, 7, 9, 4, 6, 8, 10,……

このとき、2014番目の数字はいくつか?



当然、4つずつ、「1,3,5,7」「2,4,6,8」「3,5,7,9」「4,6,8,10」と分けて郡数列と解する。

そして、2014=4×503[組]+2という数であるから、504組目の2個目の数字を探せばよいとわかる。

しかし、いきなり504番目を求めようとすると、答えを求めて早合点しがちな学生は計算ミスを頻発する。

そこで、まずは、上述のような4組くらいまでの小さな数列の範囲で規則性を整理しようと試みることになる。

すると、1組目の1番目の数は1、2組目の1番目の数は2、3組目の1番目の数は3、4組目の1番目の数は4となっていることに気づく

つまり、どんなに先の数列になろうと、n組目の1番目の数はnなのである。

そして、各組の中は1個飛ばしになっているから、n組目の組の数字は結局、以下のように定式化にできる

n組目:「n, n+2, n+4, n+6」



このように、小さなモデルから定式を分析し終わってから、いよいよ2014番目、すなわち504組目の2番目の数を分析する

実に簡単なことに、n=504の場合であるから、504+2=506だとわかる。

モデル化した結果、組の中の数が偶数の組なのか奇数の組なのかは、問題を解く上では全く関係ないと見抜けたのである。

このように、数列の問題においては、我々は自然とモデルの発想を使っている




さて、今見たように「モデル」によって巨大な問題が分析できるという機能をが十分に発揮するためには、前提がある

小さな規模・単純化された「モデル」自体についての分析は「完璧」に近くなければならない

いうまでもないが、これが不完全だったり間違っていたりすれば、巨大な問題の分析も必然的に不正確となる。


例えば、このような問題の場合を想定する。

数列:3, 4, 6, 9, 5, 6, 8, 11, 7, 8, 10, 13,…

このとき、2014番目の数字はいつくか?



やはり4つごとの郡数列であるが、各項の差分が、「1, 2, 3, -4, 1, 2, 3, -4」と繰り返す不等差数列である

すると、やはり4つごとに区切り、各組の最初の数字どうしに着目すると…

3, 5, 7,…

つまり、2ずつの等差数列になるところまでは、小規模なモデルで分析ができる

これを定式化すると、

n組目:「2n+1, 2n+2, 2n+4, 2n+7」



よって、504組目の2番目は、2×504+2=1010とわかる。

ところが、モデルの分析が不正確で、定式化の際に

n組目の最初を2n-1としてしまったならば、当然ながら正解にはたどり着かない。




数学の問題の場合には、このことに異議を述べる者はいない。

では、他の分野でモデル化が使用されたときはどうか。

後編へ
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