スポンサーサイト

上記の広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。
新しい記事を書く事で広告が消せます。

風見鶏の寝言065

「10作る問題」




4つの数字で、四則演算と()のみの範囲で、10を作るという問題に関して。

実はこの問題は、有名進学校の中学入試でも出題されたことがある。

しかし、問題と答えは見かけるが、解き方を教えてもらえなければ、時間制限のある入試ではパニクって解けなくなるのが人の性である。

そこで、ここに簡単なコツをメモしておきたいと思った



例えば、このような問題を見たことがあるだろうか。

「1、1、5、8」





淡々とやっていける環境ならば、そのうち思いつく。

しかし、10分で解けと言われたら解けない人が多いのではないか?


そこで、コツはこうである。

(1)任意の1つの数字を決める。
例えば、8とする。(大きい数を選ぶ方がやりやすい)


(2)四則演算である以上、最後は(1)で選んだ数字に+-×÷のどれかをするはずである
つまり、最後は、常に以下の5通りしかあり得ない
5/4×8=10
8÷5/4=10
80÷8=10
2+8=10
18-8=10


(3)残り3つの数で、(2)の5通りのどれかを作れないか検討する
分数は、どれか2つの数字を割って他の1つから引いて作る


(4)もし、この5つのどれも答えが見つからないときは、その数字が()の中に入っているということである
したがって、最後に計算されるのは別の数字とわかる

()が必要な計算であるから、別の数字で(2)の内、最初の3つのみを試せばよい



これだけである。

では、「1、1、5、8」を解くとどうなるか。

今回は、幸い8で解ける

8÷(1-1/5)=10とわかる


同様の方法で以下の3つもできる。

「1、1、9、9」

「3、4、7、8」

「9、9、9、9」


※答えは、追記から

また、この手法は、合計が10の場合には限られない。

以下の3つは、24を作る場合である

「3、3、7、7」

「3、3、8、8」

「4、4、10、10」


※答えは、追記から



だがしかし、ここまでならば、知ってしまえば難しい話ではない。

一時間もあればマスターできる人は大勢いらっしゃると思われる。


もし、上の話では飽き足らない方がいらっしゃるならば、以下の問題に挑戦してみてはいかがだろう。

「4、4、4、4」は、0~9の全てを作ることができる。

Q、「a、a、a、a」で、a>4のとき、四則演算と()のみの範囲を用いて、0~9を全て作ることができる自然数aは存在しないことを証明せよ。


※答えは、追記から

<追記>

○10を作る問題

(1+1/9)×9=10

(3-7/4)×8=10

(9×9+9)÷9=10



○24を作る問題

(3+3/7)×7=24

8÷(3-8/3)=24

(10×10-4)÷4=24



○証明問題

前提として、自然数aを4つ使うとき、常に以下の数を作ることができる。

a/a-a/a=0
a/a×a/a=1
a/a+a/a=2
(a+a+a)÷a=3

a×a÷(a+a)=a/2

a-(a+a)÷a=a-2
(a×a-a)÷a=a-1
a+(a-a)÷a=a
(a×a+a)÷a=a+1
a+(a+a)÷a=a+2

a+a-a/a=2a-1
a+a×a/a=2a
a+a+a/a=2a+1

a×a-a-a=a^2-2a
a×a-a/a=a^2-1
a×a×a/a=a^2
a×a+a/a=a^2+1
a×a+a+a=a^2+2a

a+a+a+a=4a

a×a×a-a=a^3-a
a×a×a+a=a^3+a

a×a×a×a=a^4


a=5のとき、a-2は3、a-1は4となって0,1,2,3と連続できる一方で、

a+2は7だが、2a-1は9になってしまい作れない数(8)が生じる

a=6のとき、a/2が3、a-2は4となって、0,1,2,3とは連続できる一方、

a+2は8だが、2a-1は11となり、ここにも作れない数(9)が生じる

a=7のとき、a-2≧5となるため、0,1,2,3との間に作れない数(4)が生じる

a=8のとき、a/2は4、a-2は6となり、作れない数(5)が生じる

a=9以上のとき、a/2>4、a-2≧6となり、必ず作れない数(4)が生じる

このため、0~9まで全てを作れる自然数は、4しかない
関連記事
スポンサーサイト

トラックバック一覧

コメント一覧

コメントの投稿

名前

タイトル

メールアドレス

URL

本文

パスワード

非公開コメント管理者にだけ表示を許可する

上記広告は1ヶ月以上更新のないブログに表示されています。新しい記事を書くことで広告を消せます。